Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）若b_n=2^n-1，n∈N^*，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n=4n-1，n∈N^*．
（2）由a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^*，利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=2n²+n，n∈N^*，
∴當(dāng)n=1時，S₁=a₁=2+1=3，（2分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n∈N^*．
當(dāng)n=1時，上式成立，
∴a_n=4n-1，n∈N^*．（5分）
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^*，（7分）
∴Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)•2n-1，①
2T_n=3×2+7×2²+11×2³+…+（4n-1）•2ⁿ，②
②-①，得T_n=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1）]
=（4n-1）•2ⁿ-3-4×

2(1-2n-1)

1-2

=（4n-5）•2ⁿ+5．
故T_n=（4n-5）•2ⁿ+5，n∈N^*．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．