Question

如圖所示，已知過拋物線x²=4y的焦點F的直線l與拋物線相交于A，B兩點．
（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；
（2）設拋物線x²=4y在A，B兩點處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程：
（3）設過拋物線x²=4y焦點F的直線l與橢圓

3y2

4

+

3x2

2

=1的交點為C、D，是否存在直線l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）如圖所示，設線段AF的中點為O₁，過O₁作O₁O₂⊥x軸，垂足為點O₂，作AA₁⊥x軸．利用拋物線的定義及梯形的中位線定理可得可得r=

|AF|

2

=

|AA1|+ p 2

2

=

|AA1|+|OF|

2

=|O₁O₂|，即可證明；
（2）設直線AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx-4=0，可得根與系數(shù)的關系，由x²=4y，可得y′=

1

2

x．可得k_MA•k_MB=

x1x2

4

=-1，可得△MAB為直角三角形，可得△MAB的外接圓的圓心為線段AB的中點．設線段AB的中點為P，可得⊙P與拋物線的準線相切，切點為點M，利用中點坐標公式與根與系數(shù)的關系可得圓心P（2，3），半徑r=|MP|=|3-（-1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圓的方程．
（3）假設存在直線l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，設

|AF|

|BF|

=

|DF|

|CF|

=λ，可得

AF

=λ

FB

，

DF

=λ

FC

，設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．利用向量的坐標運算可得x₁=-λx₂，x₄=-λx₃．把x₁=-λx₂代入根與系數(shù)的關系可得

λ

(λ-1)2

=

1

4k2

．把y=kx+1代入橢圓方程可得（3k²+6）x²+6kx-1=0，把根與系數(shù)的關系與x₄=-λx₃聯(lián)立可得

λ

(λ-1)2

=

3k2+6

36k2

，聯(lián)立解得即可．

解答： （1）證明：如圖所示，設線段AF的中點為O₁，過O₁作O₁O₂⊥x軸，垂足為點O₂，作AA₁⊥x軸．
則r=

|AF|

2

=

|AA1|+ p 2

2

=

|AA1|+|OF|

2

=|O₁O₂|，
∴r=|O₁O₂|，
∴以AF為直徑的圓與x軸相切；
（2）解：設直線AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由x²=4y，可得y′=

1

2

x．
∴k_MA•k_MB=

x1x2

4

=-1，
∴MA⊥MB．
∴△MAB為直角三角形，∴△MAB的外接圓的圓心為線段AB的中點．
設線段AB的中點為P，可得⊙P與拋物線的準線相切，切點為點M．
∴x_P=x_M=2，
∴

x1+x2

2

=2，2k=2，解得k=1．
y_p=

y1+y2

2

=

kx1+1+kx2+1

2

=

x1+x2+2

2

=3，
∴圓心P（2，3），又r=|MP|=|3-（-1）|=4，
∴所求的△MAB的外接圓的方程為：（x-2）²+（y-3）²=16．
（3）解：假設存在直線l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，
設

|AF|

|BF|

=

|DF|

|CF|

=λ，則

AF

=λ

FB

，

DF

=λ

FC

，
設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
則（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），（-x₄，1-y₄）=λ（x₃，y₃-1），
∴x₁=-λx₂，x₄=-λx₃．
把x₁=-λx₂代入x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，可得

λ

(λ-1)2

=

1

4k2

①．
把y=kx+1代入橢圓

3y2

4

+

3x2

2

=1的方程可得（3k²+6）x²+6kx-1=0，
∴x₃+x₄=-

6k

3k2+6

，x₃x₄=-

1

3k2+6

．
與x₄=-λx₃聯(lián)立可得

λ

(λ-1)2

=

3k2+6

36k2

，②．
①②聯(lián)立可得

1

4k2

=

3k2+6

36k2

，化為k²=1，解得k=±1．
因此滿足條件的直線存在：y=±x+1．

點評：本題考查了拋物線與橢圓的標準方程及其性質、直線與拋物線橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量坐標運算、圓的標準方程、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．