Question

已知函數(shù)g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）g（x）在（1，2）單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，2）上大于或等于0恒成立，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解；
（2）求導(dǎo)數(shù)，然后對不等式的解集進(jìn)行討論，獲得原函數(shù)的遞增、遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）由已知得g′（x）=

1

2

x2+(a-2)x≥0在（1，2）上恒成立．
又因?yàn)閤∈（1，2），故只需a≥2-

1

2

x，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)恒成立．
顯然，當(dāng)x=1時(shí)，a≥2-

1

2

=

3

2

即為所求．
（2）由已知得f（x）=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx．（x＞0）．
易得f′(x)=x-

2a

x

+a-2=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

(x＞0)．
①當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)-2＜a≤0時(shí)，f（x）在（0，-a）上是增函數(shù)，在（-a，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
③當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
④當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，在（2，-a）上是減函數(shù)，在（-a，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的基本思路，屬于常規(guī)題，要注意總結(jié)思路．