Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，對任意a，b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a），f（b）的大��；
（2）不等式f（3x）＜f（2x+1）．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，能得到f（a）＞f（b）；
（2）根據函數的單調性可去掉符號“f”，轉化為具體不等式，注意考慮函數的定義域．

解答： 解：（1）∵對任意a，b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，
∵a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
即有f（a）＞f（b）；
（2）∵f（x）在[-1，1]上為增函數，
則不等式f（3x）＜f（2x+1）即為

-1≤3x≤1 -1≤2x+1≤1 3x＜2x+1

，即

- 1 3 ≤x≤ 1 3 -1≤x≤0 x＜1

，
解得-1≤x≤0，
故原不等式解集為[-1，0]．

點評：本題考查函數的奇偶性的運用以及單調性的判斷、單調性的性質及其應用，考查抽象不等式的求解，抽象函數單調性的判斷一般利用定義解決．