Question

已知一非零的向量列

an

滿足：

a1

=(1，1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（1）計算|

a1

|，|

a2

|，|

a3

|；證明：數(shù)列{|

an

|}是等比數(shù)列；
（2）設θ_n（n≥2）是

an-1

，

an

的夾角的弧度數(shù)，bn=

π

4n(n-1)θn

，Sn=b2+b3+…+bn，求S2013．

Answer 1

分析：（1）非零向量列{

an

}滿足：

a1

=（1，1），

an

=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n≥2），能求出|

a1

|，|

a2

|，|

a3

|；要證數(shù)列{|

an

|}為等比數(shù)列，要利用等比數(shù)列的定義，由題意找數(shù)列|

an

|和相鄰項|

an+1

|的比為常數(shù)．
（2）由

an-1

•

an

=

1

2

（xn-12+yn-12）=

1

2

|

an-1

|²，知cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 |•| an |

=

1 2 | an-1 |

| an |

=

2

2

，θ_n=

π

4

，n≥2．由此得到b_n=

1

n-1

-

1

n

，再由裂項求和法能求出S₂₀₁₃．

解答：解：（1）∵非零向量列{

an

}滿足：

a1

=（1，1），

an

=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n≥2），
∴

a1

=（1，1），

a2

=

1

2

（0，2）=（0，1），

a3

=

1

2

（-1，1）=（-

1

2

，

1

2

），
∴|

a1

|=

12+12

=

2

，|

a2

|=

02+12

=1，|

a3

|=

(- 1 2 )2+( 1 2 )2

=

2

2

．
∵|

an

|=

xn2+yn2

，
∴|

an+1

|=

xn+12+yn+12

=

( xn-yn 2 )2+( xn+yn 2 )2

=

2

2

xn2+yn2

，
∴

| an+1 |

| an |

=

2

2

（常數(shù)），
∴{|

an

|}是首項|

a1

|=

2

，公比q=

2

2

的等比數(shù)列．
（2）∵

an-1

•

an

=（x_n-1，y_n-1）•

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）
=

1

2

（xn-12+yn-12）=

1

2

|

an-1

|²，
∴cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 |•| an |

=

1 2 | an-1 |

| an |

=

2

2

，
∴θ_n=

π

4

，n≥2．
∴b_n=

π

4n(n-1)θn

=

π

4n(n-1)• π 4

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴S_n=b₂+b₃+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=1-

1

n

．
∴S₂₀₁₃=1-

1

2013

=

2012

2013

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列的前2013和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和裂項求和法的合理運用．