Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)P（0，y₀）滿足|PA|=|PB|，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）由離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)c²=a²-b²求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積公式，求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）由（1）可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達(dá)定理求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，表示出|AB|進(jìn)而求得k，則直線的斜率可得．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)k=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進(jìn)而根據(jù)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求得y₀；當(dāng)k≠0時(shí)，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y(tǒng)₀的表達(dá)式根據(jù)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求得y₀；綜合答案可得．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b．
由題意可知 $\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2．
解得a=2，b=1．
所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k．
則直線l的方程為y=k（x+2）．
將直線方程代入橢圓方程整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
所以 丨AB丨=$\sqrt{（-2-\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{4k}{1+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
以下分兩種情況：
①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），
線段AB的垂直平分線為y軸，
于是$\overrightarrow{PA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（2，-y₀），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，y₀=2$\sqrt{2}$，
②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
令x=0，解得y₀=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，
于是$\overrightarrow{PA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（x₁，y₁-y₀），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀）=-2×$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$（$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$），
=$\frac{4（16{k}^{2}+15k-1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4，
整理得7k²=2．故k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
∴y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$，
綜上可知y₀=2$\sqrt{2}$，或y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力．綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．