Question

13．等比數列{a_n}中，若a₃，a₁₁是方程2x²-23x+56=0的兩個根，則a₇=$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由題意可得a₃•a₁₁=$\frac{56}{2}=28$，且得到數列{a_n}中的奇數項大于0，然后再由等比數列的性質求得a₇．

解答 解：由a₃，a₁₁是方程2x²-23x+56=0的兩個根，得
a₃+a₁₁=$\frac{23}{2}$，a₃•a₁₁=$\frac{56}{2}=28$，則a₃＞0，
∵數列{a_n}是等比數列，
∴${{a}_{7}}^{2}={a}_{3}{a}_{11}=28$，
∴${a}_{7}=-2\sqrt{7}$，或${a}_{7}=2\sqrt{7}$，
由上面a₃＞0，又由等比數列的性質知，比數列中所有奇數項都是同號，
可知${a}_{7}=2\sqrt{7}$．
故答案為：$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查等比數列的通項公式，考查了一元二次方程根與系數關系的應用，是基礎題．