如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥AD，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PAB是等邊三角形，求二面角B-AC-P的余弦．
精英家教網(wǎng)
分析：以AB中點O為坐標原點，以OB為x軸，過點O與AD平行的直線為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，根據(jù)條件求出平面PAC的一個法向量，又
OP
是平面ABC的一個法向量，設二面角B-AC-P的大小為θ，利用夾角公式求出此角余弦值即可．
解答：精英家教網(wǎng)解：建立如圖的空間直角坐標系O-xyz，
則A（-1，0，0），B（1，0，0），
則P（0，0，
3
），C（1，2，0）
設
n
=（x，y，z）為平面PAC的一個法向量，
則
n
⊥
PA
， 
n
⊥
PC

又
PA
=(-1，0，-
3
) ，
PC
=(1，2，-
3
)
∴
-x-
3
z=0
x+2y-
3
z=0
令z=1，得x=-
3
，y=
3

得
n
=(-
3
，
3
，1)
又
OP
是平面ABC的一個法向量，設二面角B-AC-P的大小為θ，
則cosθ=cos＜n，
OP
＞=
n•
OP
|n|•|
OP
|
=
3
7
•
3
=
7
7

∴二面角P-AC-B的余弦為
7
7
點評：本小題主要考查二面角及其平面角，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點A在PD上的射影為點G，點E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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