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8.設n∈N*,n≥3,k∈N*
(1)求值:
①kCnk-nCn-1k-1;
②k2Cnk-n(n-1)Cn-2k-2-nCn-1k-1(k≥2);
(2)化簡:12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+(k+1)2Cnk+…+(n+1)2Cnn

分析 (1)利用組合數(shù)的計算公式即可得出.
(2)方法一:由(1)可知當k≥2時k+12Ckn=k2+2k+1Ckn=k2Ckn+2kCkn+Ckn=[nn1Ck2n2+nCk1n1]+2nCk1n1+Ckn=nn1Ck2n2+3nCk1n1+Ckn.代入化簡即可得出.
方法二:當n≥3時,由二項式定理,有1+xn=1+C1nx+C2nx2++Cknxk++Cnnxn,
兩邊同乘以x,得1+xnx=x+C1nx2+C2nx3++Cknxk+1++Cnnxn+1,
兩邊對x求導,得1+xn+n1+xn1x=1+2C1nx+3C2nx2++k+1Cknxk++n+1Cnnxn,兩邊再同乘以x,得1+xnx+n1+xn1x2=x+2C1nx2+3C2nx3++k+1Cknxk+1++n+1Cnnxn+1,
兩邊再對x求導,得(1+x)n+n(1+x)n-1x+n(n-1)(1+x)n-2x2+2n(1+x)n-1x=1+22C1nx+32C2nx2++k+12Cknxk++n+12Cnnxn
令x=1,即可得出.

解答 解:(1)①kCknnCk1n1=k×n!k!nk!n×n1!k1!nk!=n!k1!nk!n!k1!nk!=0.…(2分)
k2Cknnn1Ck2n2nCk1n1=k2×n!k!nk!nn1×n2!k2!nk!n×n1!k1!nk!=k×n!k1!nk!n!k2!nk!n!k1!nk!=n!k2!nk!kk111k1=0.…(4分)
(2)方法一:由(1)可知當k≥2時k+12Ckn=k2+2k+1Ckn=k2Ckn+2kCkn+Ckn=[nn1Ck2n2+nCk1n1]+2nCk1n1+Ckn=nn1Ck2n2+3nCk1n1+Ckn.(6分)
12C0n+22C1n+32C2n++k+12Ckn++n+12Cnn=12C0n+22C1n+nn1C0n2+C1n2++Cn2n2+3nC1n1+C2n1++Cn1n1+C2n+C3n++Cnn=(1+4n)+n(n-1)2n-2+3n(2n-1-1)+(2n-1-n)=2n-2(n2+5n+4).…(10分)
方法二:當n≥3時,由二項式定理,有1+xn=1+C1nx+C2nx2++Cknxk++Cnnxn,
兩邊同乘以x,得1+xnx=x+C1nx2+C2nx3++Cknxk+1++Cnnxn+1,
兩邊對x求導,得1+xn+n1+xn1x=1+2C1nx+3C2nx2++k+1Cknxk++n+1Cnnxn,…(6分)
兩邊再同乘以x,得1+xnx+n1+xn1x2=x+2C1nx2+3C2nx3++k+1Cknxk+1++n+1Cnnxn+1,
兩邊再對x求導,得(1+x)n+n(1+x)n-1x+n(n-1)(1+x)n-2x2+2n(1+x)n-1x=1+22C1nx+32C2nx2++k+12Cknxk++n+12Cnnxn.…(8分)
令x=1,得2n+n2n-1+n(n-1)2n-2+2n2n-1=1+22C1n+32C2n++k+12Ckn++n+12Cnn
12C0n+22C1n+32C2n++k+12Ckn++n+12Cnn=2n-2(n2+5n+4).…(10分)

點評 本題考查了組合數(shù)的計算公式及其性質(zhì)、利用導數(shù)的運算法則化簡證明,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(1)若{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1、3、q、3.
①當q=0時,求b2016
②當q=1時,設{bn}的前3n項和為S3n,若不等式{S_{3n}}≤λ•{3^{n-1}}對n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍;
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