分析 (1)利用組合數(shù)的計算公式即可得出.
(2)方法一:由(1)可知當k≥2時(k+1)2Ckn=(k2+2k+1)Ckn=k2Ckn+2kCkn+Ckn=[n(n−1)Ck−2n−2+nCk−1n−1]+2nCk−1n−1+Ckn=n(n−1)Ck−2n−2+3nCk−1n−1+Ckn.代入化簡即可得出.
方法二:當n≥3時,由二項式定理,有(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn,
兩邊同乘以x,得(1+x)nx=x+C1nx2+C2nx3+…+Cknxk+1+…+Cnnxn+1,
兩邊對x求導,得(1+x)n+n(1+x)n−1x=1+2C1nx+3C2nx2+…+(k+1)Cknxk+…+(n+1)Cnnxn,兩邊再同乘以x,得(1+x)nx+n(1+x)n−1x2=x+2C1nx2+3C2nx3+…+(k+1)Cknxk+1+…+(n+1)Cnnxn+1,
兩邊再對x求導,得(1+x)n+n(1+x)n-1x+n(n-1)(1+x)n-2x2+2n(1+x)n-1x=1+22C1nx+32C2nx2+…+(k+1)2Cknxk+…+(n+1)2Cnnxn.
令x=1,即可得出.
解答 解:(1)①kCkn−nCk−1n−1=k×n!k!(n−k)!−n×(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n!(k−1)!(n−k)!−n!(k−1)!(n−k)!=0.…(2分)
②k2Ckn−n(n−1)Ck−2n−2−nCk−1n−1=k2×n!k!(n−k)!−n(n−1)×(n−2)!(k−2)!(n−k)!−n×(n−1)!(k−1)!(n−k)!=k×n!(k−1)!(n−k)!−n!(k−2)!(n−k)!−n!(k−1)!(n−k)!=n!(k−2)!(n−k)!(kk−1−1−1k−1)=0.…(4分)
(2)方法一:由(1)可知當k≥2時(k+1)2Ckn=(k2+2k+1)Ckn=k2Ckn+2kCkn+Ckn=[n(n−1)Ck−2n−2+nCk−1n−1]+2nCk−1n−1+Ckn=n(n−1)Ck−2n−2+3nCk−1n−1+Ckn.(6分)
故12C0n+22C1n+32C2n+…+(k+1)2Ckn+…+(n+1)2Cnn=(12C0n+22C1n)+n(n−1)(C0n−2+C1n−2+…+Cn−2n−2)+3n(C1n−1+C2n−1+…+Cn−1n−1)+(C2n+C3n+…+Cnn)=(1+4n)+n(n-1)2n-2+3n(2n-1-1)+(2n-1-n)=2n-2(n2+5n+4).…(10分)
方法二:當n≥3時,由二項式定理,有(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn,
兩邊同乘以x,得(1+x)nx=x+C1nx2+C2nx3+…+Cknxk+1+…+Cnnxn+1,
兩邊對x求導,得(1+x)n+n(1+x)n−1x=1+2C1nx+3C2nx2+…+(k+1)Cknxk+…+(n+1)Cnnxn,…(6分)
兩邊再同乘以x,得(1+x)nx+n(1+x)n−1x2=x+2C1nx2+3C2nx3+…+(k+1)Cknxk+1+…+(n+1)Cnnxn+1,
兩邊再對x求導,得(1+x)n+n(1+x)n-1x+n(n-1)(1+x)n-2x2+2n(1+x)n-1x=1+22C1nx+32C2nx2+…+(k+1)2Cknxk+…+(n+1)2Cnnxn.…(8分)
令x=1,得2n+n2n-1+n(n-1)2n-2+2n2n-1=1+22C1n+32C2n+…+(k+1)2Ckn+…+(n+1)2Cnn,
即12C0n+22C1n+32C2n+…+(k+1)2Ckn+…+(n+1)2Cnn=2n-2(n2+5n+4).…(10分)
點評 本題考查了組合數(shù)的計算公式及其性質(zhì)、利用導數(shù)的運算法則化簡證明,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (1,2) | B. | (2,+∞) | C. | (1,\;\sqrt{2}) | D. | (\sqrt{2},\;+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {a|a>2} | B. | {a|1<a<2} | C. | \{a|a>\frac{1}{2}\} | D. | \{a|\frac{1}{2}<a<1\} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | ∅ | B. | {2} | C. | {2,3} | D. | {x|2≤x<3} |
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