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6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=12,an+2SnSn-1=0(n≥2)
(1)求an和Sn
(2)求證:S12+S22+S32+…+Sn212-14n

分析 (1)確定{1Sn}是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,可得Sn=12n,即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)利用放縮法,裂項求和法,即可得出結(jié)論

解答 解:(1)n=1時,S1=a1=12,n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn1Sn1=2
所以數(shù)列{1Sn}是以1S1=2為首項,公差為2的等差數(shù)列.所以1Sn=2+(n-1)•2=2n,
即Sn=12n,當(dāng)n≥2時,an=-2SnSn-1=-12nn1,當(dāng)n=1時,S1=a1=12,不滿足上式
所以an={12n=112nn1n2,
(2)當(dāng)n=1時,S12=14=12-14×1,原式成立.
當(dāng)n≥2時,S12+S22+S32+…+Sn2=14+14×22+14×32+14×32+…+14×n2=14(1+122+132+…+1n2)≤14[1+11×2+12×3+…+1nn1]=14(1+1-1n)=12-14n
所以S12+S22+S32+…+Sn212-14n

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和,考查數(shù)列與不等式的綜合,考查學(xué)生分析解決問題的能力,確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵,屬于中檔題.

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①數(shù)列\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}是否為等差數(shù)列?并證明你的結(jié)論;            
②求Sn;
③求證:S_1^2+S_2^2+S_3^2+…+S_n^2<\frac{1}{2}

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