Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，P₁、P₂、P₃是拋物線C上的不同三點(diǎn)，且|FP₁|、|FP₂|、|FP₃|成等差數(shù)列，公差d≠0，若點(diǎn)P₂的橫坐標(biāo)為3，則線段P₁P₃的垂直平分線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（　�。�

• A、3
• B、5
• C、6
• D、不確定，與d的值有關(guān)

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用P₁、P₂、P₃都在拋物線y²=4x上，拋物線的定義，求出線段P₁P₃的斜率，求出直線方程，通過y=0，推出直線與x軸的交點(diǎn)為一定點(diǎn)，即可求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：因?yàn)閽佄锞�方程為y²=4x，所以F（1，0）是它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，
點(diǎn)P₂的橫坐標(biāo)為3，即|FP₂|=4
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₃（x₃，y₃），則|FP₁|=x₁+1，|FP₃|=x₃+1，|FP₁|+|FP₃|=2|FP₂|，
所以x₁+x₃=2x₂=6，
直線P₁P₃的斜率k=

y3-y1

x3-x1

=

4

y3+y1

，則線段P₁P₃的垂直平分線l的斜率k_l=-

y3+y1

4

則線段P₁P₃的垂直平分線l的方程為y-

y3+y1

2

=-

y3+y1

4

（x-3）
直線l與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)（5，0），
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線系方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用與計(jì)算能力的考查．