Question

7．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{t=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ+4cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標方程和參數(shù)方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程可化為ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，把互化公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角標準方程．利用cos²α+sin²α=1即可得出參數(shù)方程．
（2）解法一：直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，化為普通方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，可得直線l被圓C截得的弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-e33vx8v^{2}}$．
解法二：將$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$代入（x-2）²+（y-1）²=5得，$4{t^2}-4\sqrt{3}t-1=0$，設直線l與曲線C的交點對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，又直線l的參數(shù)方程可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}（2t）}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2t）}\end{array}}\right.$，可得直線l被曲線C截得的弦長為|2t₁-2t₂|=2$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程可化為ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得x²+y²=2y+4x，
∴曲線C的直角坐標方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=1+\sqrt{5}sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）解法一：∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，
∴直線l的普通方程是$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}-1=0$．
∴曲線C表示圓心為（2，1），半徑為$\sqrt{5}$的圓，
圓心（2，1）到直線l的距離為$\frac{{|{2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}-1}|}}{2}=1$，
∴直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-1}=4$．
解法二：將$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$代入（x-2）²+（y-1）²=5得，$4{t^2}-4\sqrt{3}t-1=0$，設直線l與曲線C的交點對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，∴t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁•t₂=$-\frac{1}{4}$．
又∵直線l的參數(shù)方程可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}（2t）}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2t）}\end{array}}\right.$，
∴直線l被曲線C截得的弦長為$|{2{t_1}-2{t_2}}|=2\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2×\sqrt{3+1}=4$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化公式、直線的參數(shù)方程及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．