Question

2．求和：（1）S_n=（2-3×$\frac{1}{5}$）+[4-3×（$\frac{1}{5}$）²]+[6-3×（$\frac{1}{5}$）³]+…+[2n-3×（$\frac{1}{5}$）ⁿ]；
（2）S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）利用分組求和法進(jìn)行解答；
（2）利用拆項(xiàng)法進(jìn)行解答．

解答 解：（1）S_n=（2-3×$\frac{1}{5}$）+[4-3×（$\frac{1}{5}$）²]+[6-3×（$\frac{1}{5}$）³]+…+[2n-3×（$\frac{1}{5}$）ⁿ]，
=2（1+2+3+…+n）-3×[（$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$）²+（$\frac{1}{5}$）³+…+（$\frac{1}{5}$）ⁿ]，
=2×$\frac{n（1+n）}{2}$-3×$\frac{\frac{1}{5}×[1-（\frac{1}{5}）^{n}]}{1-\frac{1}{5}}$，
=n+n²+$\frac{12}{{5}^{n}}$-12；

（2）S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的求和．注意分組求和法和裂項(xiàng)相消法的綜合應(yīng)用．