Question

（08年南昌市一模理）( 14分) 已知數(shù)列滿足

（1）  求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）  設(shè)b= (n∈N,n≥2), b,

①求證：b+b+……+b< 3 ;

②設(shè)點(diǎn)M(n,b)((n∈N,n>2)在這些點(diǎn)中是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)

y =(k>0)的圖象上,如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：(1) 解法一∵

 ∴………4分

∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即

       ……………6分

解法二、……………………①

            …………………………②

    ②－①得

        

         為公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列. …………4分

         遞推迭加得

         …………………………6分

(也可用數(shù)學(xué)歸法證明：)

(1)  b== =

≤(n≥2)………8分

∴b+b+……+b

=1+, 

n=1時(shí),b=1<3 成立, 所以b+b+……+b< 3 .………10分

(2)  假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)A(p,b),B(q,b)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,

即b=, ,   ∴

  ……①   ………12分

 

以下考查數(shù)列，的增減情況， ，

當(dāng)n>2時(shí), n² －3n+1>0 ,所以對(duì)于數(shù)列{C_n }有C₂>C₃>C₄>……>C_n>……,

所以不可能存在p,q使①成立,因而不存在這樣的兩個(gè)點(diǎn).……14分