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8.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a0b0的右焦點(diǎn)F(1,0),長軸的左、右端點(diǎn)分別為A1,A2;且FA1FA2=1
(1)求橢圓E的方程;
(2)已知點(diǎn)B(0,-1),經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩P、Q點(diǎn)(均異于點(diǎn)B),證明:直線BP與BQ的斜率之和為定值.

分析 (1)設(shè)A1(-a,0),A2(a,0),則FA1=a10,FA2=a10,利用FA1FA2=1.求出a,求出b,即可得到橢圓方程.
(2)直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),代入x22+y2=1,消去y,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0利用韋達(dá)定理,求出直線BP與BQ的斜率之和,化簡求解即可.

解答 (本題滿分12分)
(1)設(shè)A1(-a,0),A2(a,0),則FA1=a10FA2=a10,
FA1FA2=1,得1-a2=-1,所以a2=2,橢圓E:x2a2+y2b2=1a0b0的右焦點(diǎn)F(1,0),可得c=1,則b2=1.
所以橢圓E的方程為x22+y2=1
(2)證明:由題設(shè)知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),
代入x22+y2=1得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,
由已知△>0  設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
x1+x2=4kk11+2k2,x1x2=2kk21+2k2,
從而點(diǎn)線BP,BQ的斜率之和…(6分)
kBP+kBQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2kx1+kx2+2kx2=2k+2kx1+x2x1x2
=2k+2k4kk12kk2=2k2k1=2
故直線BP與BQ的斜率之和為定值.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

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