分析 (1)設(shè)A1(-a,0),A2(a,0),則→FA1=(−a−1,0),→FA2=(a−1,0),利用→FA1•→FA2=−1.求出a,求出b,即可得到橢圓方程.
(2)直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),代入x22+y2=1,消去y,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0利用韋達(dá)定理,求出直線BP與BQ的斜率之和,化簡求解即可.
解答 (本題滿分12分)
(1)設(shè)A1(-a,0),A2(a,0),則→FA1=(−a−1,0),→FA2=(a−1,0),
由→FA1•→FA2=−1,得1-a2=-1,所以a2=2,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0),可得c=1,則b2=1.
所以橢圓E的方程為x22+y2=1.
(2)證明:由題設(shè)知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),
代入x22+y2=1得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,
由已知△>0 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
則x1+x2=4k(k−1)1+2k2,x1x2=2k(k−2)1+2k2,
從而點(diǎn)線BP,BQ的斜率之和…(6分)
kBP+kBQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2−kx1+kx2+2−kx2=2k+(2−k)x1+x2x1x2
=2k+(2−k)•4k(k−1)2k(k−2)=2k−2(k−1)=2.
故直線BP與BQ的斜率之和為定值.…(12分)
點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
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A. | y=x2 | B. | y=2x | C. | y=cosx | D. | y=lnx |
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A. | x-y-2=0 | B. | x+y-2=0 | C. | x+4y-5=0 | D. | x-4y-5=0 |
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A. | 3 | B. | -3 | C. | 4 | D. | √5 |
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