Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+4n，數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2ⁿ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+3，從而再檢驗即可；
（2）化簡c_n=a_n•b_n=（2n+3）•2ⁿ，從而利用錯位相減法求和．

解答 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=n²+4n-（（n-1）²+4（n-1））
=2n+3，
當n=1時，a₁=5也符合上式，
故a_n=2n+3；
（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（2n+3）•2ⁿ，
T_n=5•2+7•4+9•8+…+（2n+3）•2ⁿ，
2T_n=5•4+7•8+9•16+…+（2n+3）•2ⁿ⁺¹，
兩式作差可得，
T_n=-10-2•4-2•8-2•16-…-2•2ⁿ+（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=（2n+3）•2ⁿ⁺¹-2$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-10
=（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用及分類討論的思想與錯位相減法的應(yīng)用，屬于中檔題．