Question

已知橢圓Γ的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點，離心率等于

2

2

．直線l與橢圓Γ交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）橢圓Γ的右焦點是否可以為△BMN的重心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據橢圓C的一個頂點恰好是拋物線 y=

1

4

x2的焦點，結合離心率．易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即對于存在性問題，可先假設存在，即假設x軸上存在滿足條件的點C（x₀，0），再利用向量的坐標表示，求出

x 02

2

+

y 02

1

，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則由題意知b=1．…（2分）
∴

a2-b2 a2

=

2

2

．∴a²=2．…（4分）
∴橢圓C的方程為 

x2

2

+y2=1．…（5分）
（II）由（I）知，B（0，1），F（1，0）
假設存在直線l，使得F可以為△BMN的重心，
設A（x₀，y₀）為MN的中點，
則

BF

=(1，-1)．

FA

=(x 0-1，y 0)，
于是 由

BF

=2

FA

得：

1=2(x 0-1) -1=2y 0

從而x₀=

3

2

，y₀=-

1

2

∴

x 02

2

+

y 02

1

=

9

8

+

1

4

＞1
這表明點A在橢圓外，這與A為弦的中點矛盾，
∴不存在直線l，使得F為△BMN的重心．

點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據已知條件計算出橢圓的標準方程是解答本題的關鍵．