已知橢圓方程為（a＞b＞0），它的一個頂點(diǎn)為M（0，1），離心率e=，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值。

解：（Ⅰ）依題意，得，
解得，
∴橢圓方程為；
（Ⅱ）①當(dāng)AB⊥x軸時，；
②當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知，得，
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴；
當(dāng)k≠0時，
|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2


，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時|AB|=2；
當(dāng)k=0時，；
綜上所述|AB|max=2，
此時△AOB面積取最大值。

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓方程為數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0），長軸兩端點(diǎn)A、B，短軸上端頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且數(shù)學(xué)公式=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：月考題 題型：解答題

已知橢圓方程為（a＞b＞0），長軸兩端點(diǎn)A、B，短軸上端頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖南省永州市新田一中高三（下）第五次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓方程為（a＞b＞0），長軸兩端點(diǎn)A、B，短軸上端頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年浙江省杭州市重點(diǎn)高中高考命題比賽數(shù)學(xué)參賽試卷02（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓方程為，A、B分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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