若將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如圖）．
（Ⅰ）若a=2
2
，求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的值，使得二面角A-EC-D的大小為60°．
（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，
2
），D（0，2，0），E（0，0，2
2
），
∴
AB
=(2，0，0)，
DE
=(0，-2，2
2
)，
DC
=(1，-1，
2
)（2分）
設(shè)平面CDE的一個法向量為
n1
=(x，y，z)，
則有-2y+2
2
z=0，x-y+
2
z=0，
取z=
2
時，
n1
=(0，2，
2
)（4分）
∴
AB
•
n1
=0，又AB不在平面CDE內(nèi)，所以AB∥平面CDE；（7分）
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，
2
），D（0，2，0），E（0，0，a），∴
DE
=(0，-2，a)，
DC
=(1，-1，
2
)，
設(shè)平面CDE的一個法向量為
n2
=(x，y，z)，則有-2y+az=0，x-y+
2
z=0，
取z=2時，
n2
=(a-2
2
，a，2)（9分）
又平面AEC的一個法向量為
n3
=(-1，1，0)，（10分）
∵二面角A-EC-D的大小為60°，∴
n2
•
n3
|
n2
||
n3
|
=
1
2
，
即a2-2
x
a-2=0，解得a=
2
±2（13分）
又a＞0，所以a=
2
+2．（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=
2
，AA1=2，如圖，
（1）當(dāng)點(diǎn)P在BB1上運(yùn)動時（點(diǎn)P∈BB1，且異于B，B1）設(shè)PA∩BA1=M，PC∩BC1=N，求證：MN∥平面ABCD
（2）當(dāng)點(diǎn)P是BB1的中點(diǎn)時，求異面直線PC與AD1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為PA、BC的中點(diǎn)．
求證：EF∥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，O為AC和BD的交點(diǎn)，過A、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-AC1Dl，且這個幾何體的體積為．
（1）求證：OD1∥平面BA1C1
（2）求棱A1A的長：
（3）求點(diǎn)D1到平面BA1C1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm），E為PA的中點(diǎn)．
（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
（1）求證：平面A′B′C′∥平面ABC；
（2）求S△A′B′C′：S△ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線l⊥平面α，有以下幾個判斷：
①若m⊥l，則m∥α，
②若m⊥α，則m∥l
③若m∥α，則m⊥l，
④若m∥l，則m⊥α，
上述判斷中正確的是（　�。�
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BB1=2，AB=
2
，BC=1，∠BCC1=
π
3

（1）求證：C1B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC1（不包含端點(diǎn)C，C1）上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB1．

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同步練習(xí)冊答案