Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F是A₁D₁、A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面BDC₁．
（2）求異面直線AE與直線BC₁的夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線線平行證明線面平行即可；
（2）先通過作平行線，作出異面直線所成的角，再解三角形求得其余弦值即可．

解答：解：（1）∵E、F是A₁D₁、A₁B₁的中點(diǎn)．∴EF∥B₁D₁，又BD∥B₁D₁
∴EF∥BD，又BD?平面BDC₁，EF?平面BDC₁，
∴EF∥平面BDC₁．
（2）連接AD₁，∵四邊形ABC₁D₁為平行四邊形，∴BC₁∥AD₁，
∴∠EAD₁為異面直線AE與BC₁所成的角，
設(shè)正方體的棱長為1，AD₁=2

2

，AE=

5

，ED₁=1，
∴cos∠EAD₁=

8+5-1

2×2 2 × 5

=

3 10

10

，
故異面直線AE與直線BC₁的夾角的余弦值為

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定及異面直線所成的角的求法．求異面直線所成的角的基本方法是：一、作角（平行線）；二、證角（符合異面直線所成角的定義）；三、求角（解三角形）．