Question

已知向量=（sinx，-1），=（cosx，3）．
（I ）當(dāng)∥時(shí)，求的值；
（II）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，c=2asin（A+B），函數(shù)f（x）=（+）•，求f（B+）的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由∥，可得3sinx=-cosx，于是tanx=-．
∴===-．
（II）∵在△ABC中，A+B=π-C，于是sin（A+B）=sinC，
由 c=2asin（A+B）利用正弦定理得：sinC=2sinAsinC，
∴sinA=，可解得 A=． …（6分）
又△ABC為銳角三角形，于是 ＜B＜，
∵函數(shù)f（x）=（+）•=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）
=sin²x+sinxcosx-2=+-2= sin（2x-）-．
∴f（B+）=sin[2（B+）-]-=sin2B-．…（10分）
由 ＜B＜ 得＜2B＜π，
∴0＜sin2B≤1，得-＜sin2B-≤-，即 f（B+）的取值范圍 （-，-]．
分析：（I）由∥，可得tanx=-，再由=，運(yùn)算求得結(jié)果．
（II）在△ABC中，由 c=2asin（A+B）利用正弦定理求得sinA=，可解得 A=．由△ABC為銳角三角形，得＜B＜，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得函數(shù)f（x）=
sin（2x-）-．由此可得f（B+）=sin2B-，再根據(jù)B的范圍求出sin2B的范圍，即可求得f（B+）的取值范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦定理，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．