Question

3．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是實數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數(shù)f（x）的表達式．

Answer 1

分析 因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，則導數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在區(qū)間（-1，3）上小于零，可知，-1和3對應的導數(shù)值為0，再由f′（0）=-18，可求得導函數(shù)，再利用導函數(shù)與原函數(shù)間的關系，表示出原函數(shù)，再由f（0）=-7求解．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18，
又由于f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函數(shù)，
在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，
所以-1和3必是f′（x）=0的兩個根．
從而$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b-18=0}\\{27a+6b-18=0}\end{array}\right.$，
又根據(jù)f（0）=-7，
所以f（x）=2x³-6x²-18x-7．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性問題，當導數(shù)大于零時，函數(shù)為增函數(shù)，當導數(shù)小于零時，函數(shù)為減函數(shù)．