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3.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是實數(shù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函數(shù),在區(qū)間(-1,3)上是減函數(shù),并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函數(shù)f(x)的表達式.

分析 因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數(shù),在區(qū)間(-1,3)上是減函數(shù),則導數(shù)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都大于零,在區(qū)間(-1,3)上小于零,可知,-1和3對應的導數(shù)值為0,再由f′(0)=-18,可求得導函數(shù),再利用導函數(shù)與原函數(shù)間的關系,表示出原函數(shù),再由f(0)=-7求解.

解答 解:f′(x)=3ax2+2bx+c.
由f'(0)=-18得c=-18,即f′(x)=3ax2+2bx-18,
又由于f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函數(shù),
在區(qū)間(-1,3)上是減函數(shù),
所以-1和3必是f′(x)=0的兩個根.
從而{3a2b18=027a+6b18=0
又根據(jù)f(0)=-7,
所以f(x)=2x3-6x2-18x-7.

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性問題,當導數(shù)大于零時,函數(shù)為增函數(shù),當導數(shù)小于零時,函數(shù)為減函數(shù).

練習冊系列答案
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