Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f （x） 的圖象在點A （1，f （1））處的切線方程；
（2）若f （x） 在R上單調(diào)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=

5

2

時，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求出切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成一般式即可；
（2）若f（x）在R上單調(diào)，則f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]＞0恒成立，考慮到e^x＞0恒成立且x²系數(shù)為正，從而等價x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，利用判別式建立關(guān)系式，即可求出所求；
（3）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值即可．

解答：解：f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]…（1分）
（1）當(dāng)a=0時，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），…（2分）f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點A （1，f （1）） 處的切線方程為y-3e=5e （x-1），
即5ex-y-2e=0    …（4分）
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
考慮到e^x＞0恒成立且x²系數(shù)為正，
∴f （x） 在R上單調(diào)等價于 x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立   …．（6分）
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a 的取值范圍是[-2，2]，…（8分）
（若得a的取值范圍是（-2，2），可扣1分）
（3）當(dāng)a=

5

2

時，f(x)=(x2+

5

2

x+2)ex，f′(x)=ex(x2+

9

2

x+

9

2

)
…（10分）
令f'（x）=0，得x=-3，或x=-

3

2

令f'（x）＞0Z，得x＜-3或x＞-

3

2

，
令f'（x）＜0Z，得-3＜x＜-

3

2

…（12分）
x，f'（x），f（x）的變化情況如下表

x	（-∞，-3）	-3	(-3，- 3 2 )	- 3 2	(- 3 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數(shù)f（x）的極小值為f（-

3

2

）=

1

2

e-

3

2

…（14分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和恒成立問題，同時考查了計算能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于綜合題．