Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=2，a₄=16，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₃=a₃，b₅=a₅，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和S_n；
（Ⅲ）求數(shù)列{|b_n|}前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（Ⅰ）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公比的值，利用數(shù)列項(xiàng)一關(guān)系，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用等差數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，求出數(shù)列的公差，進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和S_n；（Ⅲ）根據(jù)數(shù)列的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，分類(lèi)討論，求出數(shù)列{|b_n|}前n項(xiàng)的和，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等比數(shù)列且首項(xiàng)a₁=2，a₄=16，
∴公比q³=

a4

a1

16

2

=8，
故q=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=a₁•q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b₃=a₃=2³=8，b₅=a₅=2⁵=32，
而數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的公差d=

b5-b3

5-3

=

32-8

2

=12．
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為：b_n=b₃-（n-3）d=8+（n-3）×12=12n-28．
即b_n=12n-28．（n∈N^*）．
∴b₁=-16，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為：S_n=

(-16+12n-28)n

2

=6n²-22n．
∴S_n=6n²-22n．（n∈N^*）．
（III）

∵bn=12n-28

，
∴當(dāng)n＜3，n∈N^*時(shí)，b_n＜0，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂-…-b_n=-（b₁+b₂+…+b_n）=-S_n=22n-6n²．（n∈N^*）．
當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂+b₃+b₄+…+b_n=S_n-2（b₁+b₂）=6n²-22n-2（-16-4）=6n²-22n+40．
∴T_n=

-6n2+22n，1≤n≤2 6n2-22n+40，n≥3

n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和公式，本題難度適中，屬于中檔題．