Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x2-2nx+anan+1=0 (n∈N*)的兩實(shí)根，且a₁=1，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a₂，a₃；
（2）求證：數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)b_n=a_na_n+1，問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由韋達(dá)定理可得an+an+1=2n，由a₁=1可求得a₂=1，a₃=3；
（2）由等比數(shù)列的定義可知

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

為常數(shù)-1，可得結(jié)論；
（3）由（2）得a_n的通項(xiàng)公式，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)?n∈N^*

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)都成立，分n為奇數(shù)和偶數(shù)分類討論可得．

解答： 解：（1）∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x2-2nx+anan+1=0 (n∈N*)的兩實(shí)根，
∴an+an+1=2n，又∵a₁=1，∴a₂=1，a₃=3；
（2）∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1，
∴數(shù)列{an-

1

3

×2n}是首項(xiàng)為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數(shù)列；
（3）由（2）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，an=

1

3

[2n-(-1)n]，
∴Sn=a1+a2+…+an=

1

3

(2+22+23+…+2n)-

1

3

[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]
又bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]，
要使b_n＞λS_n，對(duì)?n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)（*），
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得：

1

9

[22n+1+2n-1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0，
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0，∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)對(duì)任意正奇數(shù)n都成立，
故

1

3

(2n+1)(n為正奇數(shù)）的最小值為1．∴λ＜1；
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得：

1

9

(22n+1-2n-1]-

λ

3

(2n+1-2)＞0，
即

1

9

(22n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0，∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，
故

1

6

(2n+1+1)(n為正偶數(shù)）的最小值為

3

2

．∴λ＜

3

2

．
綜上所述得，存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)?n∈N^*都成立，λ的取值范圍為（-∞，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的判斷和分類討論以及恒成立問(wèn)題，屬中檔題．