已知關(guān)于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)當(dāng)m為何值時,方程C表示圓.
(2)若圓C與直線l:x+2y-4=0相交于M,N兩點,且|MN|=
4
5
5
,求m的值.
(3)在(2)條件下,是否存在直線l:x-2y+c=0,使得圓上有四點到直線l的距離為
5
5
,若存在,求出c的范圍,若不存在,說明理由.
分析:(1)由方程C:x2+y2-2x-4y+m=0變?yōu)椋▁-1)2+(y-2)2=5-m.當(dāng)5-m>0表示圓,解出即可.
(2)利用點到直線的距離可得:圓心(1,2)到直線l的距離d,利用(
|MN|
2
)2+d2=r2
.即可解得m.
(3)如圖所示,圓心(1,2)到直線l的距離d=
|c-3|
5
,假設(shè)存在直線l:x-2y+c=0,使得圓上有四點到直線l的距離為
5
5
,必須滿足1-
|c-3|
5
5
5
,解出即可.
解答:解:(1)由方程C:x2+y2-2x-4y+m=0變?yōu)椋▁-1)2+(y-2)2=5-m.
當(dāng)5-m>0即m<5時,方程C表示圓.
(2)圓心(1,2)到直線l的距離d=
|1+4-4|
5
=
1
5
,
∵弦長|MN|=
4
5
5
,∴(
|MN|
2
)2+d2=r2
.∴(
2
5
5
)2+(
1
5
)2=5-m
,解得m=4.
故m=4.
(3)如圖所示,圓心(1,2)到直線l的距離d=
|1-4+c|
5
=
|c-3|
5

假設(shè)存在直線l:x-2y+c=0,使得圓上有四點到直線l的距離為
5
5
,
必須1-
|c-3|
5
5
5
,化為|c-3|<
5
-1
,∴1-
5
<c-3<
5
-1
,
解得4-
5
<c<2+
5

因此存在c∈(4-
5
,2+
5
)
,滿足條件.
點評:本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、弦長公式、勾股定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)當(dāng)m為何值時,方程C表示圓.
(2)若圓C與直線l:x+2y-4=0相交于M,N兩點,且MN=
4
5
,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若方程C表示圓,求m的取值范圍;
(2)若圓C與圓x2+y2-8x-12y+36=0外切,求m的值;
(3)若圓C與直線l:x+2y-4=0相交于M,N兩點,且|MN|=
4
5
5
,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)當(dāng)m為何值時,方程C表示圓.
(2)若圓C與直線l:x+2y-4=0相交于M,N兩點,且|MN|=
4
5
,求m的值.
(3)在(2)條件下,是否存在直線l:x-2y+c=0,使得圓上有四點到直線l的距離為
1
5
,若存在,求出c的范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x,y的方程x2+y2-2x-4y+m=0
(Ⅰ)當(dāng)m為何值時,此方程表示圓;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若從點P(3,1)射出的光線,經(jīng)x軸于點Q(
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,0)處反射后,與圓相切,求圓的方程.

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