Question

已知奇函數f（x）=5x+sinx+c，x∈（-1，1），如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，則實數x的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由于函數f（x）為奇函數，則f（0）=0，求出c=0，再由導數判斷f（x）在定義域內為單調遞增函數，所以f（1-x）+f（1-x²）＞0?f（1-x）＞-f（1-x²），由奇函數和單調遞增，進行求解即可．

解答： 解：奇函數f（x）=5x+sinx+c，x∈（-1，1），
則f（0）=0，即有c=0，
則f（x）=5x+sinx，
∴f（1-x）+f（1-x²）＜0?f（1-x）＜-f（1-x²）=f（x²-1），
又f′（x）=5+cosx＞0，
∴f（x）為增函數，
∴-1＜1-x＜x²-1＜1，
解得：x＜2且x＞1或x＜-2且-

2

＜x＜

2

，
解得，1＜x＜

2

．
故答案為：（1，

2

）．

點評：此題考查了利用函數的單調性及奇偶性解不等式，還考查了運算能力及集合的交集．