Question

數(shù)列{b_n}中，b₁=a，b2=a2，其中a＞0，對于函數(shù)f(x)=

1

3

(bn+1-bn)x3-(bn-bn-1)x（n≥2）有f′(

1

a

)=0．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若

1

2

＜a＜2，cn=

1

2

(bn+

1

bn

)，s_n=c₁+c₂+…+c_n，求證：sn＜2n-(

2

2

)n．

Answer 1

分析：（1）通過求導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知可得（b_n+1-b_n）

1

a

-（b_n-b_n-1）=0，可得數(shù)列為b2-b1=a2-a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，再由迭代法易得通項(xiàng)；
（2）由（1）可知，cn=

1

2

(bn+

1

bn

)=

1

2

（aⁿ+a^-n），由

1

2

＜a＜2，可得（2a）ⁿ＞1且aⁿ＜2ⁿ，又（2ⁿ+2^-n）-（aⁿ+a^-n）=

1

(2a)n

[（2a）ⁿ-1]（2ⁿ-aⁿ）＞0，即（2ⁿ+2^-n）＞（aⁿ+a^-n），故可得s_n＜

1

2

[(2+

1

2

)+(22+

1

22

)+…+(2n+

1

2n

)]，對式子的右邊求和可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

(bn+1-bn)x3-(bn-bn-1)x，∴f′（x）=(bn+1-bn)x2-(bn-bn-1)，
∴f′（

1

a

）=（b_n+1-b_n）

1

a

-（b_n-b_n-1）=0，∴b_n+1-b_n=a（b_n-b_n-1）
∴數(shù)列{b_n+1-b_n}是以b2-b1=a2-a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，
∴b_n-b_n-1=（a-1）a^n-1
又b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1，
∴a≠1時(shí)，b_n=aⁿ，當(dāng)a=1時(shí)，b_n=a
綜上可知：b_n=aⁿ…（6分）
（2）由

1

2

＜a＜2，可得（2a）ⁿ＞1且aⁿ＜2ⁿ，∴（2ⁿ+2^-n）-（aⁿ+a^-n）=

1

(2a)n

[（2a）ⁿ-1]（2ⁿ-aⁿ）＞0
∴s_n＜

1

2

[(2+

1

2

)+(22+

1

22

)+…+(2n+

1

2n

)]
=

1

2

[2+22+23+…+2ⁿ+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

]=2n-

1

2

(1+

1

2n

)
又1+

1

2n

＞2

1 2n

∴

1

2

(1+

1

2n

)＞(

2

2

)n
∴2n-

1

2

(1+

1

2n

)＜2ⁿ(

2

2

)n
∴sn＜2n-(

2

2

)n…（12分）

點(diǎn)評：本題為數(shù)列求和與不等式以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，構(gòu)造數(shù)列求和是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．