Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a₄=2a₂+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，設(shè)T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試比較T_n與3的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

4a1+6d=8a1+4d a1+3d=2a1+2d+1

，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由已知得b_n=

2n-1

2n

，由此利用錯(cuò)位相減法求出T_n=3-

2n+1

2n

，從而能得到T_n＜3．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d．
由S₄=4S₂，a₄=2a₂+1，
得

4a1+6d=8a1+4d a1+3d=2a1+2d+1

，
解得a₁=1，d=2．…（4分）
∴a_n=2n-1，n∈N^*．…（5分）
（2）∵

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，a_n=2n-1，n∈N^*，
∴b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．…（6分）
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

 …（9分）
=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

2n-1

2n+1

．
∴T_n=3-

2n+1

2n

．…（11分）
故T_n＜3．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查兩數(shù)大小的比較，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．