設(shè)f(x)是定義在[－1，1]上的偶函數(shù)，f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且當x∈[2，3]時，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)3，

(Ⅰ)求f(x)的表達式；

(Ⅱ)是否存在正實數(shù)a，使得f(x)的圖象的最高點在直線y＝12上？若存在，求出正實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

 　　熱點分析　　因為[2，3]關(guān)于x＝1對稱的區(qū)間是[－1，0]，所以應(yīng)先求出f(x)在區(qū)間[－1，0]內(nèi)的解析式；而問題(Ⅱ)等價于[f(x)]max＝12

　　熱點分析　　因為[2，3]關(guān)于x＝1對稱的區(qū)間是[－1，0]，所以應(yīng)先求出f(x)在區(qū)間[－1，0]內(nèi)的解析式；而問題(Ⅱ)等價于[f(x)]max＝12．

　　解答(Ⅰ)當x∈[－1，0]時，f(x)上的點P(x，y)與g(x)上的點Q(x0，y0)關(guān)于直線x＝1對稱，

　　代入g(x)得

　　f(x)＝4x3－2ax(x∈[－1，0])．

　　∵f(x)是[－1，1]上的偶函數(shù)，∴當x∈[0，1]時，

　　f(x)＝f(－x)＝4(－x)3－2a(－x)＝－4x3＋2ax；

　　(Ⅱ)命題條件等價于[f(x)]max＝12，因為f(x)為偶函數(shù)，所以只需考慮x∈[0，1]的情況．

　　對f(x)求導(dǎo)得(x)＝2(a－6x2)(x∈[0，1]．

　�、佼攁≤0時，(x)＜0，∴f(x)在[0，1]單調(diào)遞減．

　　∴[f(x)]max＝f(0)＝12．無解

　�、诋攁＞0時，(x)＝12(－x)(＋x)

　�。�0x＝，

　　(i)當0＜≤1，即0＜a≤6時，

　　x＝是定義域內(nèi)惟一的極大點，

　　∴[f(x)]max＝f()＝12x＝3＞6，

　　不合題意；

　　(ii)當＞1，即a＞6時，

　　(x)＞0，f(x)在[0，1]上遞增，

　　∴[f(x)]max＝f(1)＝12a＝8．

　　綜上，存在a＝8使得f(x)的圖象的最高點在直線y＝12上．

　　評析　　綜合了函數(shù)解析式的變換，函數(shù)性質(zhì)及最熱點的函數(shù)最值內(nèi)容，這是常見的函數(shù)綜合問題形式，在求最值時由于用求導(dǎo)的方法十分簡單，因此沒有必要考慮初等方法．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在A上的減函數(shù)，且f(x)＞0，則下列函數(shù)中為增函數(shù)的個數(shù)是(    )

①y=3-f(x)  ②y=1＋  ③y=［f(x)］2  ④y=1-

A.1               B.2                C.3               D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在R上,以2為周期的周期函數(shù),當x∈(-1,1］時,f(x)=x2.求:

       (1)當x∈(1,3］時,f(x)的表達式；

       (2)f(-3)及f(3.5)的值.

      

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)＞1，f(2)=，則實數(shù)a的取值范圍是(    )

A．a(chǎn)＜-1或a＞                       B．-l＜a＜

C．a(chǎn)＜                                  D．a(chǎn)＜且a≠-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年大綱版高三上學(xué)期單元測試（6）數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

設(shè)f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且對任意的實數(shù)a,b∈［－1,1］,當a+b

≠0時，都有>0.

 

（1）若a>b,試比較f(a)與f(b)的大小;

（2）解不等式f(x－)<f(x－);

 

（3）如果g(x)=f(x－c)和h(x)=f(x－c2)這兩個函數(shù)的定義域的交集是空集，求c的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省2010年高考預(yù)測試題數(shù)學(xué) 題型：解答題

設(shè)f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f(x)為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間．對任意的[0，1]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．

  (I)證明：對任意的∈(O，1)，，若f()≥f()，則(0，)為含峰區(qū)間：若f()f()，則為含峰區(qū)間：

  (II)對給定的r(0<r<0.5)，證明：存在∈(0，1)，滿足，使得由(I)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r：

  (III)選取∈(O，1)，，由(I)可確定含峰區(qū)間為或，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取，由與或與類似地可確定一個新的含峰區(qū)間，在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，）的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0. 34（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）

 

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