Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，

π

2

），以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e₁，以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e₂，則（　　）

• A、隨著角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂為定值
• B、隨著角度θ的增大，e₁減小，e₁e₂為定值
• C、隨著角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂也增大
• D、隨著角度θ的增大，e₁減小，e₁e₂也減小

Answer 1

分析：連接BD、AC，假設(shè)AD=t，根據(jù)余弦定理表示出BD，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得到a的值，再由AB=2c，e=

c

a

可表示出e₁=

2

1-cosθ -1

，最后根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷e₁的單調(diào)性；同樣表示出橢圓中的c'和a'表示出e₂的關(guān)系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的關(guān)系．

解答：解：連接BD，AC設(shè)AD=t
則BD=

t2+4t2-2•t•2tcosθ

=

5t2-4t2cosθ

∴雙曲線中a=

5t2-4t2cosθ -t

2

e₁=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

∵y=cosθ在（0，

π

2

）上單調(diào)減，進(jìn)而可知當(dāng)θ增大時(shí)，y=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

=

2

1-cosθ -1

減小，即e₁減小
∵AC=BD
∴橢圓中CD=2t（1-cosθ）=2c∴c'=t（1-cosθ）
AC+AD=

5t2-4t2cosθ

+t，∴a'=

1

2

（

5t2-4t2cosθ

+t）
e₂=

c′

a′

=

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

∴e₁e₂=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

×

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

=1
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓和雙曲線的離心率的表示，考查考生對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，圓錐曲線是高考的重點(diǎn)每年必考，平時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的積累和練習(xí)．