如圖，正方形ABCD，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2 cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)E離開點(diǎn)B的時間為t s．

(1)當(dāng)t為何值時，線段EF與BC平行；

(2)設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時，EF與半圓相切?

(3)當(dāng)時，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問點(diǎn)E、F運(yùn)動時，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變化，請給予證明，并求AP∶PC的值．

答案：略
解析：

解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DC，而EF∥BC，∴BE=FC．∵BE=t，CF=4－2t，∴t=4－2t，得，即當(dāng)時，線段EF∥BC．

(2)設(shè)E、F出發(fā)t s時，EF與半圓相切，如圖(3)，

∴EF=EM＋MF=EB＋FC(切線長定理)．

作FK⊥AB，進(jìn)而KB=FC．

又∵，

于是，

即，解之，得．

∵1＜t＜2，∴，

即當(dāng)時，EF與半圓相切．

(3)當(dāng)時，點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化．

事實(shí)上，設(shè)時，E、F出發(fā)t s后的線段位置，如圖(4)，

則，

而由AB∥DC，有△APE∽△CPF，

可知，這個比值顯然與t無關(guān)，因而點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化．


提示：

分析：本題是典型的運(yùn)動幾何問題，用運(yùn)動變化觀點(diǎn)分析與看待此問題．對于(1)與(2)的解答均是先假設(shè)結(jié)論成立，逆向思考從而求出t的值．對于(3)討論是否與t有關(guān)，可判定點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=
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，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如圖把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下面結(jié)論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結(jié)論的序號為
①③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜
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），則MN的長的最小值為 （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求證：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在線段BE上存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為
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3
，試確定點(diǎn)M的位置．
（文）若AD=2，求四棱錐E-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•溫州二模）如圖，正方形ABCD與正方形CDEF所成的二面角為60°，則直線EC與直線AD所成的角的余弦值為
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2
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．

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