Question

設(shè)M，N為拋物線C：y=x²上的兩個動點(diǎn)，過M，N分別作拋物線C的切線l₁，l₂，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且l₁∩l₂=P，若|AB|=1，
（1）若|AB|=1，求點(diǎn)P的軌跡方程
（2）當(dāng)A，B所在直線滿足什么條件時，P的軌跡為一條直線？（請千萬不要證明你的結(jié)論）
（3）在滿足（1）的條件下，求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x，y），M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），切線的斜率 k=2x．
∴l(xiāng)₁ 的方程為 y-x₁²=2x₁（x-x₁），即 y=2x₁x-x₁² ①，
同理，l₂ 的方程為 y=2x₂ x-x₂² ②，令 y=0 可求出 A（，0），B（，0）．
∵|AB|=1，所以，|x₁-x₂|=2，∴|x₁+x₂|²-4x₁x₂ =4，
由①，②，得 x=，y=x₁x₂，故點(diǎn)P（，x₁x₂）．
∴y=x²-1，
（2）當(dāng) A，B 所在直線過 C：y=x² 的焦點(diǎn)．
（3）設(shè) MN：y=kx+b 又由 y=x² 得 x²-kx-b=0，所以，x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∴P到MN的距離為 d==，MN=|x₁-x₂|，
∴S=MN•d=（|x₁+x₂|² -4x₁x₂|）•|x₁-x₂|=2，為定值．
分析：（1）設(shè)P（x，y），用點(diǎn)斜式求得 l₁ 的方程，同理求得l₂ 的方程，由此建立x，y 的方程．
（2）當(dāng) A，B 所在直線過 C：y=x² 的焦點(diǎn)時．
（3）求出P到MN的距離為 d，以及MN的長度，代入△MNP的面積 S=MN•d運(yùn)算求值．
點(diǎn)評：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式，由①，②得到 x=，y=x₁x₂，是解題的難點(diǎn)．