Question

已知數列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，且a₅=

π

2

，若函數f（x）=sin2x+2cos²

x

2

，記y_n=f（a_n），則數列{y_n}的前9項和為（　�。�

• A、0
• B、-9
• C、9
• D、1

Answer 1

考點：數列遞推式,數列與三角函數的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,三角函數的求值

分析：確定數列{a_n}是等差數列，利用等差數列的性質，可得f（a₁）+f（a₉）=f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，由此可得結論．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴數列{a_n}是等差數列，
∵a₅=

π

2

，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，
∵f（x）=sin2x+2cos²

x

2

，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，
∵f（a₅）=1，
∴數列{y_n}的前9項和為9．
故選C．

點評：本題考查等差數列的性質，考查數列與函數的聯系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．