Question

已知拋物線(xiàn)D的頂點(diǎn)是橢圓+=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線(xiàn)D的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（4，0），交拋物線(xiàn)D于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)，求證：∠AQP=∠BQP；
（3）是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)m被以AP為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得c=1．由此能求出拋物線(xiàn)D的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O為PQ之中點(diǎn)，故當(dāng)l⊥x軸時(shí)由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知∠AQP=∠BQP，當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4），由，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能夠證明∠AQP=∠BQp．
（3）設(shè)存在直線(xiàn)m+x=a滿(mǎn)足題意，則圓心，過(guò)M作直線(xiàn)x=a的垂線(xiàn)，垂足為E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此能夠?qū)С龃嬖谥本�(xiàn)m：x=3滿(mǎn)足題意．
解答：（本小題滿(mǎn)分14分）
（1）解：由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（1，0），∴p=2．
∴拋物線(xiàn)D的方程為y²=4x．…（4分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O為PQ之中點(diǎn)，故當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，一定有∠AQP=∠BQP，
當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4），
由，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴，
∵=，
=，
∴=，
∴∠AQP=∠BQP．
綜上證知，∠AQP=∠BQP
（3）解：設(shè)存在直線(xiàn)m+x=a滿(mǎn)足題意，
則圓心，
過(guò)M作直線(xiàn)x=a的垂線(xiàn)，垂足為E，
∴|EG|²=|MG|²-|ME|²，
即|EG|²=|MA|²-|ME|²
=
=
=
=，
當(dāng)a=3時(shí)，|EG|²=3，
此時(shí)直線(xiàn)m被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值．…（13分）
因此存在直線(xiàn)m：x=3滿(mǎn)足題意…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)方程的求法，直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．