Question

定義在R上的函數(shù)f（x+2）+f（x）=0，且y=f（x-1）是奇函數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)y=f（x）的最小正周期是2；②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對稱；③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．其中真命題是________（填入命題的編號(hào)）．

Answer 1

②③
分析：由f（x+2）+f（x）=0可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則該函數(shù)的周期為T=4，又有函數(shù)f（x-1）為奇函數(shù)，說明函數(shù)f（x）應(yīng)該有對稱中心（-1，0），即f（-2-x）=-f（x）符合點(diǎn)對稱的定義從而可求解．
解答：由f（x+2）+f（x）=0，即f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函數(shù)f（x）的周期T=4，所以①錯(cuò)；
又∵函數(shù)f（x-1）為奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）向右移一個(gè)單位以后關(guān)于（0，0）對稱，∴平移之前的圖象應(yīng)該關(guān)于（-1，0）對稱，故②正確；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x-1）=y為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=-f（x），f（-x-1）=-f（x-1）=-f（x+1），
點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的周期定義及利用定義求函數(shù)的周期，還考查了函數(shù)的對稱及與圖象的平移變換，還考查了復(fù)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義式．，通過抽象函數(shù)中一些主條件的變形，來考查函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，方法往往是緊扣性質(zhì)