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【題目】在平面直角坐標系xOy中，中心在原點的橢圓C的上焦點為，離心率等于．

求橢圓C的方程；

設過且不垂直于坐標軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點，問：線段OF上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

【答案】（1）（2）存在滿足條件的點

【解析】

（1）根據題意可得，，即可求出橢圓方程；（2）設滿足條件的點，則，設的方程為：，（），代入橢圓方程，根據菱形的對角線互相垂直即，結合韋達定理和向量的運算即可求出．

解：（1）由題意可知橢圓的離心率，，

所以，，進而橢圓的方程為

（2）存在滿足條件的點.

設滿足條件的點，則（），

設的方程為：，（），代入橢圓方程，，

設，，則，∴.

∵以、為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴

∵

∴，且的方向向量為

∴ 即

∵，∴，

∴，∴存在滿足條件的點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線與圓C：相交，截得的弦長為.

（1）求圓C的方程；

（2）過原點O作圓C的兩條切線，與函數的圖象相交于M、N兩點（異于原點），證明：直線與圓C相切；

（3）若函數圖象上任意三個不同的點P、Q、R，且滿足直線和都與圓C相切，判斷線與圓C的位置關系，并加以證明.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著國家二孩政策的全面放開，為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調查了100位育齡婦女，結果如下表.

非一線城市

一線城市

總計

愿生

45

20

65

不愿生

13

22

35

總計

58

42

100

附表：

由算得，，

參照附表，得到的正確結論是

A. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關”

B. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關”

C. 有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”

D. 有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第個圖形包含個小正方形.

（1）求出，，，并猜測的表達式；

（2）求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 (a＞b＞0)的離心率為，長軸長為4.過橢圓的左頂點A作直線l，分別交橢圓和圓x2＋y2＝a2于相異兩點P，Q.

(1)若直線l的斜率為，求的值；

(2)若，求實數λ的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉為新的一年定期，當孩子18歲生日時不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數為　　

A.B.

C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某海濱浴場海浪的高度（米是時刻，單位：時）的函數，記作：，下表是某日各時刻的浪高數據：

時

0

3

6

9

12

15

18

21

24

米

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

經長期觀測，的曲線可近似地看成是函數，，的圖象.

（）根據以上數據，求函數的最小正周期，振幅及函數表達式；

（2）依據規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）的結論，判斷一天內的至之間，那個時間段不對沖浪愛好者開放？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若函數，試研究函數的極值情況；

（2）記函數在區(qū)間內的零點為，記，若在區(qū)間內有兩個不等實根，證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點．

（1）求證：MN⊥CD；

（2）若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.

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