Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1）作直線l，交橢圓

x2

25

+

y2

4

=1于A，B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線的方程為y-1=k（x-2），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到k的方程，解得k，再檢驗(yàn)判別式是否大于0，即可得到直線方程．

解答： 解：由題意設(shè)直線的方程為y-1=k（x-2），
即有y=kx+1-2k，代入橢圓方程

x2

25

+

y2

4

=1，
得（4+25k²）x²+50k（1-2k）x+25（1-2k）²-100=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則判別式△=[50k（1-2k）]²-4（4+25k²）（25（1-2k）²-100））＞0，
x₁+x₂=

50k(2k-1)

4+25k2

，
點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，則有

50k(2k-1)

4+25k2

=4，
解得，k=-

8

25

．
檢驗(yàn)判別式大于0成立．
則直線l的方程為y-1=-

8

25

（x-2），
即為8x+25y-41=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，要注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，注意檢驗(yàn)判別式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．