在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,直線(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0
恒過(guò)定點(diǎn)F.設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F,且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為2+
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)(m,n)是橢圓C上的任意一點(diǎn),圓O:x2+y2=r2(r>0)與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn),試分別判斷圓O與直線l1:mx+ny=1和l2:mx+ny=4的位置關(guān)系.
分析:(1)先將(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0
轉(zhuǎn)化為(
3
x+y-3)k+(x-
3
y-
3
)=0
進(jìn)而可求得F的坐標(biāo)得到c的值,再由a+c=2+
3
可求出a的值,進(jìn)而可得b的值,確定橢圓方程.
(2)先根據(jù)x2+y2=r2(r>0)與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)確定r的范圍,再由(m,n)在橢圓C上可得到
m2
4
+n2=1
和m的范圍,圓心O到直線l1的距離和圓心O到直線l2的距離可判斷直線l1與l2與圓O的關(guān)系.
解答:解:(1)(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0
?(
3
x+y-3)k+(x-
3
y-
3
)=0
,
3
x+y-3=0  
x-
3
y-
3
=0
F(
3
,  0)

設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,2b,2c,
則由題設(shè),知
c=
3
a+c=2+
3
于是a=2,b2=1.
所以橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1

(2)因?yàn)閳AO:x2+y2=r2(r>0)與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn),
所以b<r<a,即1<r<2.
因?yàn)辄c(diǎn)(m,n)是橢圓
x2
4
+y2=1
上的點(diǎn),
所以
m2
4
+n2=1,且-2≤m≤2

所以
m2+n2
=
3
4
m2+1
∈[1,  2]

于是圓心O到直線l1的距離d1=
1
m2+n2
≤1<r
,
圓心O到直線l2的距離d2=
4
m2+n2
≥2>r

故直線l1與圓O相交,直線l2與圓O相離.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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