Question

過(guò)軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、，、為切點(diǎn),設(shè)切線、的斜率分別為和．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

 

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）（0，2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)過(guò)與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為，將直線方程代入拋物線的方程化簡(jiǎn)得，由得，而都是方程的解，故；（Ⅱ）法1：設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程并化簡(jiǎn)變形得切線方程為，切線方程為，又由于點(diǎn)在AP、AQ上，所以，，則直線的方程是，則直線過(guò)定點(diǎn).；法2：由（1）知P、Q的橫坐標(biāo)是方程的根，可設(shè)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求得PQ的方程并化簡(jiǎn)為即，由（1）知，所以直線的方程是，則直線過(guò)定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）設(shè)過(guò)與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：，由得

，

則都是方程的解，故。

（Ⅱ）法1：設(shè)，

故切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

又由于點(diǎn)在AP上，則，

又由于點(diǎn)在AQ上，則 ，

，

則直線的方程是，則直線過(guò)定點(diǎn).

法2：設(shè)， 所以,

直線：，

即，由（1）知，

所以，直線的方程是，則直線過(guò)定點(diǎn).

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.切線方程及其應(yīng)用；3.直線與拋物線的位置關(guān)系