設(shè)拋物線y2=2px(p>0)被直線y=2x-4截得的弦AB長為3
5

(1)求此拋物線的方程;
(2)設(shè)直線AB上有一點(diǎn)Q,使得A,Q,B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列,求Q點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在拋物線上求一點(diǎn)M,使M到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最。
分析:(1)聯(lián)立方程組,得
y2=2px
y=2x-4
,整理得:2x2-(8+p)x+8=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=
8+p
2
x1x2=4
,
由弦長AB=
(1+4)[(
8+p
2
)
2
-4×4]
=3
5
,能導(dǎo)出此拋物線的方程.
(2)設(shè)Q(x,y),由A,Q,B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列,知x=
x1+y1
2
=
8+2
2
2
=
5
2
,由此能求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
(3)由M到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小值是Q到準(zhǔn)線的距離,知M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=1,由此能求出點(diǎn)M.
解答:解:(1)聯(lián)立方程組,得
y2=2px
y=2x-4
,整理得:2x2-(8+p)x+8=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
8+p
2
x1x2=4
,
∴弦長AB=
(1+4)[(
8+p
2
)
2
-4×4]
=3
5
,
解得p=2或-18(舍),
所以此拋物線的方程:y2=4x.
(2)設(shè)Q(x,y),
∵A,Q,B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列,
∴x=
x1+y1
2
=
8+2
2
2
=
5
2

y=2×
5
2
-4=1
,
Q(
5
2
,1)

(3)∵M(jìn)到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小值是Q到準(zhǔn)線的距離,
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=1,
把y=1代入y2=4x,得x=
1
4

M(
1
4
,1)
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列和拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),y1>0,y2<0,M是拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).若直線MA,MF,MB的斜率分別記為:KMA=a,KMF=b,KMB=c,(如圖)
(I)若y1y2=-4,求拋物線的方程;
(II)當(dāng)b=2時(shí),求a+c的值;
(III)如果取KMA=2,KMB=-
12
時(shí),判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關(guān)系.并說明理由.

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7、設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(x0,0)的距離等于到直線x=-1的距離,則實(shí)數(shù)x0的值是
1

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拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點(diǎn),△ABQ為阿基米德三角形,則△ABQ為( 。

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設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q,過Q點(diǎn)的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn).
(1)若直線l的斜率為
2
2
,求證:
FA
FB
=0
;
(2)設(shè)直線FA,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.

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A、
p2
2
B、p2
C、2p2
D、4p2

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