Question

如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，
①GH與EF平行；
②BD與MN為異面直線；
③GH與MN成60°角；
④DE=2MN．
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：將正四面體的平面展開圖復(fù)原為正四面體A（B、C）-DEF，
①，依題意，GH∥AD，而AD與EF異面，從而可判斷GH與EF不平行；
②，假設(shè)BD與MN共面，可得A、D、E、F四點(diǎn)共面，導(dǎo)出矛盾，從而可否定假設(shè)，肯定BD與MN為異面直線；
③，依題意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判斷GH與MN成60°角；
④，由四面體A（B、C）-DEF為正四面體，可知DE=AF=2MN．

解答： 解：將正四面體的平面展開圖復(fù)原為正四面體A（B、C）-DEF，如圖：
對(duì)于①，G、H分別為DE、BE的中點(diǎn)，則GH∥AD，而AD與EF異面，故GH與EF不平行，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，BD與MN為異面直線，正確（假設(shè)BD與MN共面，則A、D、E、F四點(diǎn)共面，與ADEF為正四面體矛盾，故假設(shè)不成立，故BD與MN異面）；
對(duì)于③，依題意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH與MN成60°角，故③正確；
對(duì)于④，DE=AF=2MN，故④正確．
綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③④，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間直線間的位置關(guān)系，突出考查異面直線的判定、兩直線所成的角的概念及應(yīng)用，屬于中檔題．