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12.已知向量m=cosx33cosx3n=sinx3cosx3,fx=mn
 (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)如果先將f(x)的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位,再保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的13倍,得到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)為偶函數(shù),求φ的最小值.

分析 (Ⅰ)由已知及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得解析式f(x)=sin2x3+π3+32,
2kππ22x3+π32kπ+π2,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,由2kπ+π22x3+π32kπ+3π2,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律可得g(x),由為偶函數(shù),可得:23φ+π3=kπ+π2,結(jié)合φ>0,即可解得φ的最小值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)∵m=cosx33cosx3n=sinx3cosx3fx=mn
fx=cosx3sinx3+3cos2x3=12sin2x3+32cos2x3+32=sin2x3+π3+32,…(2分)
2kππ22x3+π32kπ+π2,得3kπ5π4x3kπ+π4kZ,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ5π43kπ+π4]kZ,…(4分)
2kπ+π22x3+π32kπ+3π2,得3kπ+π4x3kπ+7π4kZ
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ+π43kπ+7π4]kZ,…(6分)
(Ⅱ)由題意圖象變換,得gx=sin2x+23φ+π3+32,…(8分)
∵g(x)是偶函數(shù),∴23φ+π3=kπ+π2,φ=3kπ2+π4kZ,…(10分)
∵φ>0,
∴當(dāng)k=0時(shí),φ有最小值π4.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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