Question

已知a₁=1，2a_n+1=（1+

1

n

）²a_n．
（1）求證{

an

n2

}是等比數(shù)列；
（2）b_n=a_n+1-

1

2

a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意，變形為

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，繼而得到{

an

n2

}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）有（1）求得a_n=n²•

1

2n-1

，繼而得到b_n=（2n+1）•

1

2n

，再根據(jù)錯(cuò)位相減法，求出b_n的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵a₁=1，2a_n+1=（1+

1

n

）²a_n=

(n+1)2

n2

•a_n，
∴

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，

a1

1

=1，
∴{

an

n2

}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴

an

n2

=(

1

2

)n-1，
（2）由（1）得a_n=n²•

1

2n-1

，
∴b_n=a_n+1-

1

2

a_n=（n+1）²•

1

2n

ⁿ-

1

2

n²•

1

2n-1

=（2n+1）•

1

2n

，
設(shè)S_n=b₁+b₂+…+b_n=3×

1

2

+5×

1

22

+7×

1

23

+…+（2n+1）•

1

2n

，①
∴

1

2

S_n=3×

1

22

+5×

1

23

+7×

1

24

+…+（2n+1）•

1

2n+1

，②
由①-②，

1

2

S_n=3×

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

）-（2n+1）

1

2n+1

，
∴S_n=3+（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

^3-n）-（2n+1）•

1

2n

=3+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-（2n+1）•

1

2n

=5-（2n+5）•

1

2n

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的求和，以及等比關(guān)系的確定，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．