Question

設a∈R，向量m=（a，1），函數y=f（x）的圖象經過坐標原點，f′（x）是函數f（x）的導函數．已知A（-1，f′（-1）），B（x，x²），f′（x）=m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程在區(qū)間[-1，1]上有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=2，設數列{a_n}滿足a₁=3，4a_n=2f'（a_n-1）-3（n=2，3，4，…）．求證：（n∈N*）．

Answer 1

解：（I）∵，
∴m=a（x+1）+x²-f'（-1）．
令x=-1，則f'（-1）=a（x+1）+（-1）²-f'（-1），解得．
∴．
∵y=f（x）的圖象過原點，
∴．（4分）
（II）原方程可以整理為．
令，則g'（x）=2x²+x-1．
由g'（x）=0有x=-1或，
且當x＜-1或時g'（x）＞0，當時g'（x）＜0．
∴在x∈[-1，1]時，g（x）在[-1，]上是減函數，在[，1]上是增函數，（8分）
∴在[-1，1]上．
又＞，
∴要使原方程在[-1，1]上有兩個不相等的實數根，則須使≤．
即a的取值范圍為．（10分）
（III）a=2時，．
∴4a_n=2（）-3，整理得2a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2）．
變形得（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），
令c_n=a_n+1，則c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．
兩邊同取對數有l(wèi)og₂（2c_n）＞log₂c_n-1²，即1+log₂c_n＞2log₂c_n-1．
令d_n=log₂c_n，則d₁=2，且1+d_n＞2d_n-1，
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）（n≥2），
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）＞2²（d_n-2-1）＞＞2^n-1（d₁-1）=2^n-1，
∴d_n＞1+2^n-1＞2^n-1，
∴c_n=＞，
∴a_n＞-1（n≥2）．
當n=1時，a₁=3＞-1=1，即不等式也成立，
∴a_n＞-1（n∈N*）．（14分）
分析：（I）由題設知，m=a（x+1）+x²-f'（-1）．．由y=f（x）的圖象過原點，知．
（II）原方程整理為．令，則g'（x）=2x²+x-1．再由函數的增減性知要使原方程在[-1，1]上有兩個不相等的實數根，則須使≤．從而得到a的取值范圍．
（III）a=2時，．所以（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），令c_n=a_n+1，則c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．然后兩邊同時取對數，再結合題設條件進行求解．
點評：本題考查數列和不等式的合理運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．