Question

橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，把點(diǎn)A（2，3）代入橢圓方程，把離心率e=

1

2

用a，c表示，再根據(jù)b²=a²-c²，求出a²，b²，得橢圓方程；
（Ⅱ）可以設(shè)直線l上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得

|3x-4y+6|

5

=|x-2|．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
由e=

1

2

，得

c

a

=

1

2

，b²=a²-c²=3c²，∴

x2

4c2

+

y2

3c2

=1
將A（2，3）代入，有

1

c2

+

3

c2

=1，解得：c=2，
∴橢圓E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），所以直線AF₁的方程為y=

3

4

（x+2），
即3x-4y+6=0，直線AF₂的方程為x=2，由橢圓E的圖形知，∠F₁AF₂的角平分線所在直線的斜率為正數(shù)
設(shè)P（x，y）為∠F₁AF₂的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，則有

|3x-4y+6|

5

=|x-2|
若3x-4y+6=-5x+10，得x+2y-8=0，其斜率為負(fù)，不合題意，舍去．
于是3x-4y+6=10-5x，即x+2y-8=0．
所以，∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程為x+2y-8=0

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于橢圓解答題，一般都是設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據(jù)題目滿足的條件求出a²，b²，得橢圓方程，這一問(wèn)通常比較簡(jiǎn)單；（2）對(duì)于角平分線問(wèn)題，利用角平分線的幾何意義，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得方程．