如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)在平面內(nèi)求一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論；
(3)求與平面所成角的正弦值．

（1）詳見解析；（2）詳見解析；(3)

解析試題分析：在空間中直線、平面的平行和垂直關(guān)系的判定，求空間中的角，可以用相關(guān)定義和定理解決，如(1)中，易證，，所以，，但有些位置關(guān)系很難轉(zhuǎn)化，特別求空間中的角，很難找到直線在平面內(nèi)的射影，很難作出二面角，這時(shí)空間向量便可大顯身手，如果圖形便于建立空間直角坐標(biāo)系，則更為方便，本題就是建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)（1）計(jì)算即可；(2)設(shè)，再由，解出，即可找出點(diǎn)；(3)用待定系數(shù)法求出件可求出平面的法向量，再求出平面的法向量與向量平面的夾角的余弦，從而得到結(jié)果.
試題解析：以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)，則，，，，，，．
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4b/b/l9raj1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.       4分
(2)設(shè)，則平面，，
，所以，
，所以
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)為的中點(diǎn)．         8分
(3)設(shè)平面的法向量為．
由得，即，
取，則，，得．
，
所以，與平面所成角的正弦值的大小為      13分
考點(diǎn)：空間向量與立體幾何.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，點(diǎn)M在線段EC上（除端點(diǎn)外）

（1）當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；
（2）若平面與平面ABF所成二面角為銳角，且該二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，且平面，，為的中點(diǎn)，．

(Ⅰ) 求證：//；
(Ⅱ)若， 求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，是邊長為3的正方形，，，與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，試確定的位置，使得，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）求證：；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B = 900，D為棱BB1上一點(diǎn)，且面DA1 C⊥面AA1C1C.求證：D為棱BB1中點(diǎn)；（2）為何值時(shí)，二面角A －A1D － C的平面角為600.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點(diǎn)．將沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于600，是PC的中點(diǎn)，設(shè)．
（1）試用表示出向量；
（2）求的長．

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