Question

(本題滿分12分) 如圖，平面⊥平面，其中為矩形，為梯形，∥，⊥，＝＝2＝2，為中點．

(Ⅰ) 證明；

(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值為，求的長．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 證明見解析(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由已知為正三角形，為中點，所以 ，

因為平面⊥平面，平面⊥平面,

所以平面，所以.                                             ……4分

                                          

(Ⅱ) 方法一：設．取的中點，由題意得．

因為平面⊥平面，，所以⊥平面，

所以,所以⊥平面．

過作，垂足為，

連結，則，

所以為二面角的平面角．                                          ……8分

在直角△中，，得．

在直角△中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以＝．

在直角△中，，＝，得＝．

因為＝＝，得x＝，所以＝．                       ……12分

方法二：設．以為原點，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系．

則 (0，0，0)，(－2，0，0)，(，0，0)，(－1，，0)，(－2，0，)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－)．

因為⊥平面，所以平面的法向量可取＝(0，1，0)．

設＝為平面的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．因為cos<，>＝＝，

得x＝，所以＝．                                                    ……12分

考點：本小題主要考查線面垂直的證明和二面角的應用，考查學生的空間想象能力和運算求解能力.

點評：遇到立體幾何的證明題，要緊扣定理，要把定理要求的條件一一列清楚；而利用空間向量解決立體幾何問題時，要建立右手空間直角坐標系，要準確計算.