已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4,(a∈R)
(Ⅰ)若y=f(x)的圖象在點P(1,f(1))處的切線的傾斜角為
π4
,求a;
(Ⅱ)設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x),在(Ⅰ)的條件下,若m,n∈[-1,1],求f(m)+f′(n)的最小值.
(Ⅲ)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范圍.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,k=f′(1)求解即可;
(2)要求f(m)+f′(n)的最小值,只需求f(m)和f′(n)的最小值,從而轉(zhuǎn)化為求f(x)在[-1,1]上的最小值和f′(x)在[-1,1]上的最小值,按求函數(shù)最值的步驟求解即可.
(3)存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,即f(x)在(0,+∞)上的最大值大于0,故先求導(dǎo),然后分a>0和a≤0兩種情況分別討論f(x)在(0,+∞)上的最大值情況即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f'(x)=-3x2+2ax(1分),
由已知f′(x)=tan
π
4
=1
,即-3+2a=1(2分),
∴a=2(3分);

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x3+2x2-4(4分),
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-
4
3
)
(5分),
x∈[-1,1]時,如下表:
精英家教網(wǎng)(7分)
可見,n∈[-1,1]時,f′(x)最小值為f′(-1)=-7,
m∈[-1,1]時,f(m)最小值為f(0)=-4,
∴f(m)+f′(n)的最小值為-11(10分);

(Ⅲ)∵f′(x)=-3x(x-
2a
3
)
,
(1)若a≤0,當(dāng)x>0時,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,+∞)單減,
又由f(0)=-4,則x>0時f(x)<-4,
∴當(dāng)x≤0時,不存在x0>0使f(x0)>0(11分);
(2)若a>0時,
當(dāng)0<x<
2a
3
時,f′(x)>0.當(dāng)x>
2a
3
時,f′(x)<0

∴f(x)在(0,
2a
3
]
上單增,在[
2a
3
,+∞)
單減;
∴x∈(0,+∞)時,f(x)max=f(
2a
3
)=
4a3
27
-4
(12分),
由已知,必須
4a3
27
-4>0∴a3>27
,
∴a>3,
即a>3時,存在x0∈(0,+∞)使f(x0)>0.
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等知識點,涉及了分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性較強,難度較大.
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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