Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，-1），B（-3，-4），若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，且OC=$\sqrt{10}$，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，-3）．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{OB}$方向上的單位向量$\overrightarrow{e}$，則有點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，故存在實(shí)數(shù)λ使得$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{e}$），如此可以得到坐標(biāo)的參數(shù)表達(dá)式，再由|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{10}$，建立方程求出參數(shù)的值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：由題意$\overrightarrow{OA}$=（0，-1），是一個(gè)單位向量，
由于$\overrightarrow{OB}$=（-3，-4），故$\overrightarrow{OB}$方向上的單位向量$\overrightarrow{e}$=（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
∵點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，∴存在實(shí)數(shù)λ使得$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{e}$）=λ（-$\frac{3}{5}$，-1-$\frac{4}{5}$）=λ（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
∵|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{10}$，
∴λ²×（$\frac{9}{25}$+$\frac{81}{25}$）=10，解得λ=$\frac{5}{3}$，代入得 $\overrightarrow{OC}$=（-1，-3），
故答案為：（-1，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的求模公式，綜合性較強(qiáng)，解決本題關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到角平分線與向量的關(guān)系，求出$\overrightarrow{OB}$方向上的單位向量，用待定系數(shù)法將向量$\overrightarrow{OC}$表示出來(lái)，屬于中檔題．